Teorema del residuo.
En algunas ocasiones al realizar división solo interesa conocer el residuo y no el cociente, ya que este brinda cierta información del polinomio de estudio. Existen algunos casos específicos en los cuales es posible determinar el residuo de una división sin la necesidad de realizarla, mediante el uso de un teorema conocido como el teorema del residuo, el cual se presenta a continuación.
Teorema del residuo
Si \(P\left(x\right)\) es un polinomio entero y \(Q\left(x\right)\) es un binomio lineal de la forma \(Q\left(x\right)=mx+n\), entonces el residuo \(r\left(x\right)\) de dividir \(P(x)/Q(x)\) es igual \(P(-n/m)\), esto es, evaluar \(P(x)\) en \(-n/m.\)
Ejemplo 1. Uso del teorema del residuo. Determinar el residuo de la división de los siguientes polinomios, mediante el uso del teorema del residuo:
1.1 \(P\left(x\right)=6x^2+12x+5\) entre \(x-3\)
1.2 \(P\left(x\right)=10x^3+4x^2-8x-20\) entre \(x+2\)
1.3 \(P\left(x\right)=8x^3+4x^2-6x-14\) entre \(2x-1\)
1.4 \(P\left(x\right)=\frac{1}{4}x^3+\frac{3}{8}x^2+20\) entre \(x+4\)
Solución 1.1 \(P\left(x\right)=6x^2+12x+5\) entre \(x-3\)
\(r\left(x\right)=P\left(-\frac{n}{m}\right)\Longrightarrow P\left(-\frac{-3}{1}\right)=P\left(3\right)\)
\(r\left(x\right)=6\left(3\right)^2+12\left(3\right)+5\Longrightarrow r\left(x\right)=54+36+5=95\)
Solución 1.2 \(P\left(x\right)=10x^3+4x^2-8x-20\) entre \(x+2\)
\(r\left(x\right)=P\left(-\frac{n}{m}\right)\Longrightarrow P\left(-\frac{2}{1}\right)=P\left(-2\right)\)
\(r\left(x\right)=10\left(-2\right)^3+4\left(-2\right)^2-8\left(-2\right)-20\)
\(r\left(x\right)=10\left(-8\right)+4\left(4\right)+16-20\ \Longrightarrow r\left(x\right)=-80+16+16-20=-68\)
Solución 1.3 \(P\left(x\right)=8x^3+4x^2-6x-14\) entre \(2x-1\)
\(r\left(x\right)=P\left(-\frac{n}{m}\right)\Longrightarrow P\left(-\frac{-1}{2}\right)\Longrightarrow P\left(\frac{1}{2}\right)\)
\(r\left(x\right)=8\left(\frac{1}{2}\right)^3+4\left(\frac{1}{2}\right)^2-6\left(\frac{1}{2}\right)-14\)
\(r\left(x\right)=8\left(\frac{1}{8}\right)+4\left(\frac{1}{4}\right)-3-14 \Longrightarrow r\left(x\right)=1+1-3-14=-15\)
Solución 1.4 \(P\left(x\right)=\frac{1}{4}x^3+\frac{3}{8}x^2+20\) entre \(x+4\)
\(r\left(x\right)=P\left(-4\right)\Longrightarrow r\left(x\right)=\frac{1}{4}\left(-4\right)^3+\frac{3}{8}\left(-4\right)^2+20\)
\(r\left(x\right)=\frac{1}{4}\left(-64\right)+\frac{3}{8}\left(16\right)+20 \Longrightarrow r\left(x\right)=-16+6+20=10\)
Note que, al usar el teorema del residuo, siempre hay un cambio del signo, si \(Q(x)=mx+n\) se evalúa en \(-n/m\) y si \(Q(x)=mx-n\) se evaúa en \(n/m\).
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Teorema del factor.
Una conclusión importante al analizar el residuo de un polinomio se obtiene si para un valor \(r\) cualquiera \(P\left(r\right)=0\), entonces se dice que \(r\) es una raíz o cero del polinomio y de esto se deduce el siguiente teorema.
Teorema del factor
Si \(r\) es un cero (raíz) de \(P(x)\) entonces \(x-r\) es un factor de \(P(x)\).
Ejemplo 1: Verificar si el binomio \(Q(x)=x-7\) es un factor de \(P(x)=x^3-12x^2+41x-42.\)
Solución: por el teorema del factor si \(x-7\) es factor, entoces \(P\left(7\right)=0\).
\(P\left(7\right)=\left(7\right)^3-12\left(7\right)^2+41\left(7\right)-42=343-588+287-42=0\)
Luego como \(P\left(7\right)=0\) entonces \(Q\left(x\right)=x-7\) es factor de \(P\left(x\right)\).
Ejemplo 2: Verificar si el polinomio \(Q\left(x\right)=x-4\) es un factor de \(P\left(x\right)=2x^3-3x^2-7x-5\).
Análisis: si \(x-4\) es factor del polinomio, entonces \(P\left(4\right)=0\).
Solución: \(P\left(4\right)=2\left(4\right)^3-3\left(4\right)^2-7\left(4\right)-5=2\left(64\right)-3\left(16\right)-28-5=47\)
Luego como \(P\left(4\right)\neq0\) entonces \(Q\left(x\right)=x-4\) no es factor de \(P\left(x\right)\).
Ejemplo 3: Verificar si \(Q\left(x\right)=2x-3\) es factor de \(P\left(x\right)=2x^4-3x^3-14x^2+9x+18\).
Análisis: si \(2x-3\) es factor del polinomio entonces \(P\left(3/2\right)=0\).
Solución:
\(P\left(\frac{3}{2}\right)=2\left(\frac{3}{2}\right)^4-3\left(\frac{3}{2}\right)^3-14\left(\frac{3}{2}\right)^2+9\left(\frac{3}{2}\right)+18\)
\(P\left(\frac{3}{2}\right)=2\left(\frac{81}{16}\right)-3\left(\frac{27}{8}\right)-14\left(\frac{9}{4}\right)+9\left(\frac{3}{2}\right)+18\)
\(P\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{81}{8}-\frac{81}{8}-\frac{63}{2}+\frac{27}{2}+18\)
\(P\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{-63+27+36}{2}=\frac{0}{2}=0\)
Luego como \(P\left(\frac{3}{2}\right)=0\) entonces \(Q\left(x\right)=2x-3\) es factor de \(P\left(x\right)\)
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Determinar mediante el uso del teorema del residuo el residuo de dividir \(P(x)=12x^3+3x^2+5x-20\) entre \(x+2~~~~~\) R.\(-114\)
Determinar mediante el uso del teorema del residuo, el residuo de dividir \(P(x)=12x^3+3x^2+5x-20\) entre \(x-2~~~~\) R.\(98\)
Determinar mediante el uso del teorema del residuo, el residuo de dividir \(P(x)=16x^3+8x^2-10x-5\) entre \(2x-3~~~~\) R.\(52\)
Determinar mediante el uso del teorema del residuo, el residuo de dividir \(P(x)=9x^4+5x^3-8x^2-10x-2\) entre \(3x+1~~~~\) R.\(10/27\)
Determinar mediante el uso del teorema del residuo, el residuo de dividir \(P(x)=3x^2+5x-20\) entre \(5x+2\) \(R. -\frac{538}{25}\)
Determinar si el polinomio \(P\left(x\right)=8x^3+10x^2-39x+9\) tiene por factor o no los binomios dados \(Q_1\left(x\right)=2x-3\) \(Q_2\left(x\right)=4x-1\) \(Q_3\left(x\right)=x-3\)
Determinar si el polinomio \(P(x)=x^4+x^3-16x^2-4x+48\) tiene por factor o no los binomios \(Q_1\left(x\right)=x+2\) \(Q_2\left(x\right)=x-4\) \(Q_3(x)\left(x\right)=x-2\)
Determinar si el polinomio \(P\left(x\right)=4x^3+8x^2+x-3\) tiene por factor o no los binomios \(Q_1\left(x\right)=2x+3\) \(Q_2\left(x\right)=2x-1\)
Determinar si el polinomio \(P\left(x\right)=6x^2+7x-20\) tiene por factor o no los binomios \(Q_1\left(x\right)=3x-4\) \(Q_2\left(x\right)=2x+5\)